Drgania wymuszone i rezonans
W ruchu harmonicznym tłumionym amplituda, a co za tym idzie i energia drgań maleje z czasem do zera. Jeżeli chcemy podtrzymać drgania to musimy działać odpowiednią siłą zewnętrzną \( F(t) \) przyłożoną do oscylatora. Siłę taką nazywamy siłą wymuszającą. W przypadku drgań harmonicznych zewnętrzna siła wymuszająca jest siłą okresowo zmienną postaci
Zwróćmy uwagę na to, że siła wymuszająca działa przez cały czas i nie należy jej mylić z krótkotrwałymi impulsami takimi jakie na przykład stosujemy gdy chcemy podtrzymać wahania huśtawki popychając raz na jakiś czas.
Jeżeli uwzględnimy siłę wymuszającą to zgodnie z drugą zasadą dynamiki
lub korzystając z równań Ruch na płaszczyźnie-( 1 ), Ruch na płaszczyźnie-( 2 ) i Ruch na płaszczyźnie-( 3 )
Po podstawieniu wyrażenia na siłę wymuszającą ( 1 ) i wprowadzeniu nowych stałych
otrzymujemy równanie analogiczne do równania Oscylator harmoniczny tłumiony-( 4 ) dla ruchu tłumionego
Ponownie \( \omega_{0} \) jest częstością własną układu, to jest częstością drgań swobodnych gdy nie działa siła zewnętrzna i nie ma tarcia ani innych sił oporu, a \( \tau \) stałą czasową związaną ze współczynnikiem tłumienia \( \beta \) relacją \( {\beta =1/2\tau } \). Zauważmy ponadto, że układ jest zasilany z częstością \( \omega \) różną od częstości własnej \( \omega_{0} \). W takiej sytuacji
Wniosek 1:
W równaniu ( 5 ) mamy dwie wielkości okresowo zmienne: położenie \( x(t) \) oraz siłę wymuszającą \( F(t) \). W najogólniejszym przypadku suma (złożenie) dwóch funkcji okresowych daje w wyniku też funkcję okresową, jak pokazuje Rys. 1.
Szukamy więc rozwiązania równania ( 5 ) w postaci
Jak widać z porównania równań ( 1 ) i powyższego równania ( 7 ) przesunięcie fazowe \( \varphi \) mówi nam o jaki kąt maksimum przemieszczenia wyprzedza maksimum siły (czyli o ile są przesunięte względem siebie funkcje sinus opisujące wychylenie ( 7 ) i siłę ( 1 ) ).
Żeby znaleźć rozwiązanie musimy wyznaczyć amplitudę \( A \) oraz przesunięcie fazowe \( \varphi \). W tym celu obliczamy odpowiednie pochodne funkcji ( 7 ) i podstawiamy do równania
( 5 ).
Więcej o wyznaczeniu \( A \) oraz \( \varphi \) możesz przeczytać w module Dodatek: Amplituda i faza w ruchu harmonicznym wymuszonym.
W wyniku otrzymujemy warunek na przesunięcie fazowe
i wyznaczamy amplitudę
Łącząc powyższe wzory otrzymujemy rozwiązanie
Równanie wygląda skomplikowanie ale pamiętajmy, że jest to rozwiązanie postaci \( {x(t)=A\sin({\omega t}+\varphi)} \).
Rezonans
Zauważmy, że chociaż drgania odbywają się z częstością \( \omega \) siły wymuszającej to amplituda i faza zależą od relacji pomiędzy częstością wymuszającą \( \omega \), a częstością własną \( \omega_0 \). W szczególności gdy siła wymuszająca osiągnie odpowiednią częstotliwość, to amplituda drgań może wzrosnąć gwałtownie nawet przy niewielkiej wartości siły wymuszającej. To zjawisko nazywamy rezonansem.
Wykres przedstawiający rezonansowy wzrost amplitudy drgań w funkcji częstości siły wymuszającej pokazany jest na Rys. 2, dla różnych wartości współczynnika tłumienia \( \beta \).
Liniami przerywanymi zaznaczono częstości rezonansowe to jest wartości częstości siły wymuszającej, dla której amplituda drgań jest maksymalna. Odpowiadająca jej amplituda nazywana jest amplitudą rezonansową.
Częstość rezonansową \( \omega_{r} \) i amplitudę rezonansową \( A_{r} \) możemy obliczyć z warunku na maksimum amplitudy drgań danej wzorem ( 9 ).
Funkcja \( A(\omega) \) osiąga maksimum dla częstości rezonansowej \( \omega_{r} \)
Podstawiając tę wartość do wzoru na amplitudę otrzymujemy wyrażenie na amplitudę rezonansową \( A_{r} \)
Widzimy, że dla drgań swobodnych, nietłumionych \( \beta \rightarrow 0 \) częstość rezonansowa \( \omega_{r} \) jest równa częstości drgań swobodnych \( \omega_{0} \), a amplituda rezonansowa \( A_{r} \rightarrow \infty \). W miarę wzrostu tłumienia wartość amplitudy rezonansowej \( A_{r} \) maleje, a częstość rezonansowa przesuwa się w stronę częstości mniejszych od \( \omega_{0} \). Dla bardzo dużego tłumienia rezonans nie występuje, maksymalna amplituda występuje dla częstości bliskiej zeru.
Dla drgań swobodnych, dla których \( \omega_{r} = \omega_0 \) przesunięcie fazowe pomiędzy siłą, a wychyleniem, dane równaniem ( 8 ) jest równe \( \varphi = \pi/2 \). Oznacza to, że siła wymuszająca nie jest zgodna w fazie z wychyleniem. Zauważmy jednak, że moc pochłaniana przez oscylator zasilany siłą wymuszającą \( F \) zależy od prędkości
Warunek uzyskania rezonansu odpowiada maksimum mocy pochłanianej przez oscylator. Trzeba więc, zgodnie z powyższym wzorem, żeby to prędkość (a nie wychylenie) była zgodna w fazie z siłą, a to oznacza, że siła musi wyprzedzać wychylenie o \( \pi/2 \).
Więcej o mocy absorbowanej przez oscylator możesz przeczytać w module Moc absorbowana przez oscylator.
Na poniższym filmie przedstawiono przykład wystąpienia rezonansu w układzie wahadeł. UWAGA: Na filmie we wzorze na okres drgań wahadła jest błąd w ułamku pod pierwiastkiem. Poprawny zapis to: l - długość wahadła powinno być w liczniku, g - przyśpieszenie ziemskie w mianowniku.
Skutki rezonansu mogą być zarówno pozytywne jak i negatywne. Z jednej strony staramy się wyeliminować przenoszenie drgań na przykład z silnika na elementy nadwozia w samochodzie, a z drugiej strony działanie odbiorników radiowych i telewizyjnych jest możliwe dzięki wykorzystaniu rezonansu elektrycznego. Dostrajając odbiornik do częstości nadajnika spełniamy właśnie warunek rezonansu. Zjawisko rezonansu jest bardzo rozpowszechnione w przyrodzie.
Słynnym negatywnym skutkiem wystąpienia rezonansu jest zawalenie się mostu Tacoma w USA w 1940 roku. Film przedstawiający tę katastrofę budowlaną można znaleźć m.in w serwisie YouTube
Symulacja 1: Rezonans
Pobierz symulacjęObserwuj rezonans w harmonicznych oscylatorach wymuszonych z tłumieniem. Zmieniaj częstotliwość wymuszającą, amplitudę, współczynnik tłumienia, masę oscylatora i sprężystość sprężyny. Obserwuj różnice faz oscylatorów poniżej i powyżej rezonansu.